Modélisation par un intégrateur

Une relation fondamentale lors de la modélisation des systèmes mécaniques est la relation permettant de passer de la vitesse \(v(t)\) à la position \(x(t)\) :

\[v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\dot{x}(t)\]

Il est souvent nécessaire d'établir la relation inverse, il faut alors intégrer :

\[x(t)=\int_{0}^{t} v(\tau)d\tau\]

Définition

Un système est intégrateur s'il est défini par une relation de la forme :

\[s(t)=K_I\cdot \int_{0}^{t} e(\tau)d\tau\]

avec \(K_I\) une constante.

Remarque

Remarque : même si l'on parle de relation intégrale, on utilise souvent la forme dérivée entre les paramètres afin de faire apparaître des équations différentielles.

ExempleLe vérin

Un vérin est un actionneur qui transforme une puissance hydraulique en puissance mécanique au travers du déplacement linéaire d'une tige.

Le piston muni d'une tige se translate librement à l'intérieur du corps.

Tous deux sont de forme cylindrique. On note \(D_p\) le diamètre du piston et \(D_v\) le diamètre de la tige (cf. figure ci-contre et ci-dessous).

Pour faire sortir la tige, on amène du fluide sous pression sur la face arrière du piston :

Pour faire rentrer la tige, on amène du fluide sur la face avant du piston.

Lors du déplacement de la tige le fluide entre dans la chambre avec un débit Q qui correspond à la variation du volume de la chambre en fonction du temps :

\[Q=\frac{\Delta V}{\Delta t} \underset{\Delta t\to 0}{\longrightarrow} \frac{dV}{dt}\]

Cette variation de volume peut aussi s'exprimer par le produit de la section S du piston avec la variation de position de la tige \(\Delta x\) (donc du piston) : \(\Delta V=S.\Delta x\)

\(Q=\frac{S\cdot\Delta x}{\Delta t} \underset{\Delta t\to 0}{\longrightarrow} S\frac{dX}{dt}=S\cdot V_{tige}\) avec \(V_{tige}\) la vitesse de translation de la tige du vérin.

Fondamental

Vitesse de déplacement de la tige du vérin et position de la tige du vérin en fonction du débit :

\[Q=S\cdot V_{tige}=S\frac{dx(t)}{dt}\]