Modèle du premier ordre

Définition

Un système d'entrée \(e(t)\) et de sortie \(s(t)\) est du premier ordre, s'il est régi par une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants de la forme :

\[\tau \cdot \frac{ds(t)}{dt}+s(t)=K \cdot e(t) \]

avec :

  • \(\tau\) la constante de temps du système (unité : seconde) ;

  • \(K\) le gain du système (unité : [s]/[e]) ;

  • il est de plus nécessaire de donner une condition initiale \(s(0)\) pour déterminer complètement le comportement du système. Par hypothèse, on se ramènera toujours en S.I à des modèles tels que \(s(0)=0\).

Réponse indicielle (réponse à un échelon)

la réponse temporelle à une entrée en échelon \(e(t)=e_0.u(t)\) d'un système du premier ordre est donnée par la relation suivante :

\(s(t)=K\cdot e_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right).u(t)\).

Fondamental

Cette réponse présente toujours les caractéristiques suivantes :

  • la valeur finale \(s_\infty\) tend vers \(K.e_0\) sans dépassement ;

  • la pente de la tangente à l'origine est non nulle ;

  • le temps de réponse à 5% vaut \(t_{5\%}=3.\tau\)

Le paramètre caractéristique K influence donc la réponse en régime permanent (quand \(t\to +\infty\)) et le paramètre \(\tau\) influence la réponse transitoire.