Modèle du second ordre
En reprenant les équations régissant le fonctionnement d'une machine à courant continue :
Question
Déterminer une unique équation différentielle donnant le comportement du moteur à courant continu. L'entrée du moteur est la tension \(u(t)\) et la sortie est sa vitesse de rotation \(\omega_m (t)\). En déduire l'expression littérale des paramètres caractéristiques du moteur.
Solution
\(k_m.u(t)=(k_m.k_e+R.f).\omega_m (t)+(R.J+L.f).\frac{d\omega_m (t)}{dt}+L.J.\frac{d^2 \omega_m (t)}{dt^2 }\)
donc \(\begin{array}{l}k_m/(k_m.k_e+R.f).u(t) =\\ \omega_m (t)+((R.J+L.f))/(k_m.k_e+R.f).\frac{d\omega_m (t)}{dt}+(L.J)/(k_m.k_e+R.f).\frac{d^2 \omega_m (t)}{dt^2 }\end{array}\)
On en déduit : \(K=\frac{k_m}{k_m.k_e+R.f}\), \(\omega_0=\sqrt{\frac{k_m.k_e+R.f}{L.J}}\) et \( \xi=\frac{R.J+L.f}{2.\sqrt{L.J.(k_m.k_e+R.f) }}\)