Détermination graphique de la fonction de transfert globale d'un système
Nous verrons dans les paragraphes suivants que tout système peut être décrit par un schéma bloc proche de celui présenté ci-dessous. Sur ce schéma, \(E(p)\) et \(P(p)\) sont les grandeurs d'entrée (consigne et perturbation) traduites dans le domaine de Laplace et S\((p)\) la grandeur de sortie.
Selon le principe de superposition, le comportement global du système peut être décrit de la façon suivante :
Fondamental :
La fonction \(H_1 (p)\) est la fonction de transfert globale du système lorsque \(P(p)=0\), ce qui correspond au schéma suivant (le sommateur disparaît puisque \(P(p)=0\)) :
La fonction \(S(p)\) peut alors être exprimée uniquement grâce à la fonction \(E(p)\), sous la forme \(S(p)=H_1 (p).E(p)\), \(H_1 (p)\) restant une fonction de \(A\), \(B\) et \(C\) à déterminer.
La lecture du schéma-bloc permet d'écrire :
\(\left\lbrace \begin{array}{l} S(p)=\epsilon(p)\cdot A.B \ \text{(équation 1)} \\ \epsilon(p)=E(p)-R(p)=E(p)-C\cdot S(p) \ \text{(équation 2)} \end{array} \right.\)
En combinant les équations 1 et 2, il est possible de donner une expression de \(S(p)\) ne dépendant que de \(E(p)\) ,\(A\) ,\(B\) et \(C\) :
\(S(p)=[E(p)-C.S(p)].A.B\)
\(S(p)+A.B.C.S(p)=A.B.E(p)\)
\(H_1 (p)=\frac{S(p)}{E(p)} =\frac{A.B}{1+A.B.C}\)
Cette expression de la fonction de transfert pour \(P(p)=0\) est à connaître par cœur.
Fondamental :
La fonction \(H_2 (p)\) est la fonction de transfert globale du système lorsque \(E(p)=0\), ce qui correspond au schéma suivant après déplacement du sommateur de la perturbation :
En effet en reprenant le schéma bloc générique et en déplaçant le sommateur vers l'amont, on obtient :
Pour obtenir \(H_2(p)\), il suffit d'annuler \(E(p)\) :
Les formules mises en place précédemment peuvent être appliquées :
\(H_{H_2} (p)=\frac{S(p)}{P(p)} =\frac{1}{A}\cdot H_1(p)=\frac{1}{A}\frac{A.B}{1+A.B.C}=\frac{B}{1+A.B.C}\)
Expression générale
D'où l'expression de \(S(p)\), obtenue par superposition lorsque \(E(p)≠0\) et \(P(p)≠0\) :