Cas du manège à sensation - étude du critère de hauteur maximale

On complète le paramétrage du modèle du manège donné précédemment.

  • \(\vec{OA}=a.\vec x_0 ; a=1.5\;m\)

  • \(\vec{OB}=b.\vec x_1 ; b=1.5\;m\)

  • \(\vec{OC}=c.\vec x_1 ; c=4\;m\)

  • \(\vec{CD}=-d.\vec y_{21} ; d=4\;m\)

  • \(\vec{DE}=-e.\vec y_{22} ; e=1\;m\)

  • \(\vec{EF}=f.\vec x_3 ; f=3\;m\)

  • \(\vec{FM}=h.\vec y_4 ; h=0.5\;m\)

  • \(\vec{AB}=\lambda.\vec x_5\)

Question

Quelle est la trajectoire du point C par rapport au sol 0 ?

Solution

Le point C appartient au solide 1 qui est en rotation par rapport au sol 0 autour de l'axe \((O,\vec z_0)\) ;. La trajectoire de C est donc un cercle, de centre \(O\) et de rayon \(c\).

Question

Quelle est la trajectoire du point F par rapport au solide 3 ?

Solution

Le point F appartient au solide 4 qui est en rotation par rapport au solide 3 autour de l'axe \((E,\vec x_3)\). Le point F appartient à l'axe de rotation et donc F est immobile par rapport au solide 3.

Question

Quelle est la trajectoire du point B par rapport au solide 5 ? Par rapport au solide 0 ?

Solution

Le point B appartient au solide 6 qui est en translation par rapport au solide 5 selon la direction \(\vec x_5\). La trajectoire de B par rapport au solide 5 est donc une droite de direction \(\vec x_5\). Cette direction n'étant pas fixe par rapport au sol 0 (rotation du solide 5 par rapport au sol 0 autour de l'axe \((A,\vec z_0)\), la trajectoire du point B par rapport au sol est un cercle de centre 0 et de rayon b.

Question

On cherche maintenant à exprimer la position au cours du temps du point F par rapport au sol (trajectoire plus complexe). Exprimer le vecteur position du point F (représentant le passager du manège) par rapport au sol 0 en fonction des paramètres \(c\), \(d\), \(e\) et \(f\).

Solution

\(\vec{OF}=\vec{OC}+\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{EF}=c.\vec x_1-d.\vec y_{21}-e.\vec y_{22}+f.\vec x_3\)

Question

Pour conclure sur le critère de hauteur maximale, il est nécessaire de déterminer la composante verticale de ce vecteur position.

Quelle est l'opération mathématique à réaliser pour calculer cette composante ? Effectuer le calcul.

Solution

Il faut projeter le vecteur \(\vec{OF}\) sur l'axe vertical \(\vec{y_0}\) :

\(\vec{OF}.\vec{y_0}=c.\vec x_1.\vec{y_0}-d.\vec y_{21}.\vec{y_0}-e.\vec y_{22}.\vec{y_0}+f.\vec x_3.\vec{y_0}\)

Avec :

  • \(\vec x_1.\vec{y_0}=sin\alpha\)

  • \(\vec y_{21}.\vec{y_0}=cos\alpha.cos\gamma\)

  • \(\vec y_{22}.\vec{y_0}=cos\alpha.cos\beta.cos\gamma-sin\alpha.sin\beta\)

  • \(\vec x_3.\vec{y_0}=cos\delta.cos\beta.sin\alpha+cos\delta.sin\beta.cos\gamma.cos\alpha+sin\delta.sin\gamma.cos\alpha\)

Soit l'expression de la composante verticale de la position du passager :

\(\vec{OF}.\vec{y_0}=c.sin\alpha-d.cos\alpha.cos\gamma-e.(cos\alpha.cos\beta.cos\gamma-sin\alpha.sin\beta)+f.(cos\delta.cos\beta.sin\alpha+cos\delta.sin\beta.cos\gamma.cos\alpha+sin\delta.sin\gamma.cos\alpha)\)

Parmi les paramètres angulaires intervenant dans cette expression, on remarque que l'angle \(\beta\) est constant. Tous les autres angles sont variables et évoluent au cours du temps, il faudrait déterminer le maximum de cette expression.