Positionnement d'un repère par rapport à un autre repère
Définition des coordonnées de l'origine d'un repère
On cherche en premier lieu à positionner l'origine \(O_k\) du repère \[R_k\left(O_k,\vec{x_k},\vec{y_k},\vec{z_k}\right)\] dans un repère \[R_i\left(O_i,\vec{x_i},\vec{y_i},\vec{z_i}\right)\]. Il existe trois systèmes de coordonnées classiques, les coordonnées, cartésiennes, cylindriques et sphériques. Nous nous contenterons dans ce cours des coordonnées cartésiennes.
Le repère cartésien est défini par un point et une base orthonormée directe.
Les coordonnées cartésiennes, notées (x,y,z), du point M dans le repère \[R_i\left(O_i,\vec{x_i},\vec{y_i},\vec{z_i}\right)\] sont les projections orthogonales du vecteur \(\overrightarrow{OM}\) sur chacun des axes \((O,\vec{x_i}),(O,\vec{y_i}),(O,\vec{z_i})\) :
Soit \(x=\overrightarrow{OM}\cdot\vec{x}\), \(y=\overrightarrow{OM}\cdot\vec{y}\), et \(z=\overrightarrow{OM}\cdot\vec{z}\).
Définition de l'orientation relative de deux bases
Dans un deuxième temps on cherche à définir l'orientation de la base \(\left(\vec{x_k},\vec{y_k},\vec{z_k}\right)\) du repère \(R_k\left(O_k,\vec{x_k},\vec{y_k},\vec{z_k}\right)\) par rapport à la base \(\left(\vec{x_i},\vec{y_i},\vec{z_i}\right)\) du repère \[R_i\left(O_i,\vec{x_i},\vec{y_i},\vec{z_i}\right)\]. Cette orientation est définie par un à trois paramètres angulaires.
Exemple :
Les trois angles d'Euler correspondent à la composition de trois rotations planes successives qui permettent d'orienter unebase \(\left(\vec{x_3},\vec{y_3},\vec{z_3}\right)\) par rapport à une base \(\left(\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0}\right)\) selon les figures ci-dessous.
