Système sous-amorti : régime pseudo-périodique

Lorsque \(\xi<1\), la forme canonique de la fonction de transfert est :

\[H(p)=\frac{K}{1+\dfrac{2\cdot \xi}{\omega_{0}}\cdot p+\dfrac{p^2}{\omega_{0}^{2}}}\]

2 pôles complexes conjugués :

  • \(p_1=\omega_0(-\xi+j\sqrt{1-\xi^2})\)

  • \(p_2=\omega_0(-\xi-j\sqrt{1-\xi^2})\)

La réponse du système à l'entrée en échelon non unitaire dans le domaine de Laplace s'écrit donc :

\(S(p)=\frac{e_0}{p}\cdot\frac{K}{1+\dfrac{2\cdot \xi}{\omega_{0}}\cdot p+\dfrac{p^2}{\omega_{0}^{2}}}\)

Après une décomposition en éléments simples et une transformée inverse de Laplace on obtient l'expression de la réponse indicielle suivante :

\[s(t)=K.e_0.\left(1-\dfrac{e^{-\xi \cdot\omega_0 \cdot t}}{\sqrt{1-\xi^2}} \cdot \sin(\omega_p\cdot t+\psi)\right)\]

avec \(\omega_p=\omega_0\sqrt{1-\xi^2}\) en  \(rad.s^{-1}\) et \(\psi=\arctan\left(\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}\right)\).

MéthodePrévoir la réponse indicielle à partir de la F.T

  1. Vérifier l'ordre de la F.T.

  2. Mettre sous forme canonique la F.T :\( H(p)=\frac{K}{1+\frac{2\cdot \xi}{\omega_{0}}\cdot p+\frac{p^2}{\omega_{0}^{2}}}\)

  3. Identifier \(\xi\) et vérifier \(\xi<1\)

  4. Identifier \(K\) et en déduire la valeur finale : \(s_\infty=K.e_0\)

  5. Identifier la pulsation propre \(\omega_0\).

  6. Identifier \(\xi\) et en déduire la valeur du premier dépassement ainsi que le temps de réponse à \(5\%\) à l'aide des abaques ci-après.

  7. Calculer l'instant du premier dépassement \(t_1\).

  8. Connaître l'allure de la courbe. (Pente nulle à l'origine).

MéthodeIdentifier la F.T à partir de la réponse temporelle

  1. Reconnaître une réponse indicielle du 2nd ordre avec \(\xi<1\). (Oscillations).

  2. Relever la valeur finale et calculer \(K=\frac{s_\infty}{E_0}\)

  3. Relever la valeur du premier dépassement par rapport à la valeur finale et en déduire \(\xi\) en utilisant l'abaque.

  4. Relever le temps de réponse à \(5\%\) et en déduire \(\omega_0\) à l'aide de l'abaque ou bien relever \(t_1\) et en déduire \(\omega_0\).

  5. En déduire \(H(p)=\dfrac{K}{1+\dfrac{2\cdot \xi}{\omega_{0}}\cdot p+\dfrac{p^2}{\omega_{0}^{2}}}\)