Système en régime apériodique critique.

Lorsque \(\xi=1\), le dénominateur possède une racine double.

La forme canonique de la fonction de transfert devient :

\[H(p)=\frac{K}{(1+\tau \cdot p)^2}\]

1 pôle double :

\(p_0=-\omega_0\)

Auquel correspond une constante de temps :

\(\tau=-\frac{1}{p_1}=\frac{1}{\omega_0}\)

La réponse indicielle du système à un échelon non unitaire est, dans le domaine de Laplace : \(S(p)=\frac{K\cdot \omega_0^2}{(p+\omega_0 )^2} \cdot \frac{e_0}{p}\)

Par décomposition en éléments simples puis par identification des transformées inverses, on obtient :

\[s(t)=K \cdot e_0 \left(1-e^{-t/\tau}\left(1+\frac{t}{\tau}\right)\right)\]

MéthodePrévoir la réponse indicielle à partir de la F.T

  1. Vérifier l'ordre de la F.T.

  2. Mettre sous forme canonique la F.T : \(H(p)=\frac{K}{\left(1+\tau p\right)^2}=\frac{K}{\left(1+\frac{p}{\omega_0}\right)^2}\)

  3. Identifier \(\xi\) et vérifier \(\xi=1\)

  4. Identifier K et en déduire la valeur finale : \(s_\infty=K.E_0\)

  5. Identifier la pulsation propre \(\omega_0\) ou la constante de temps et en déduire le temps de réponse à \(5\%\) \(tr_{5\%}=4,7\tau=\frac{4,7}{\omega_0}\).

  6. Connaître l'allure de la courbe. (Pente nulle à l'origine).