introduction

Équation temporelle

On rappelle l'équation différentielle modélisant le comportement d'un système linéaire du second ordre :

\[s(t)+\frac{2.\xi}{\omega_0} \cdot \frac{ds(t)}{dt}+\frac{1}{\omega_0^2} \cdot \frac{d^2 s(t)}{dt^2} =K.e(t)\]

Avec \(K\), \(\xi\) et \(\omega_0\) les constantes caractéristiques du comportement du système :

  • \(K\) = gain statique , son unité dépendant des grandeurs d'entrée et sortie du système]

  • \(\xi\) = coefficient d'amortissement (\(\xi>0\)), sans unité

  • \(\omega_0\) = pulsation naturelle ou pulsation propre non amortie (\(\omega_0>0\)), en rad.s-1

Fonction de transfert

La transformée de Laplace conduit, lorsque les conditions initiales sont toutes nulles, à :

\(S(p)+\frac{2\cdot \xi}{\omega_0 }\cdot p \cdot S(p)+\frac{1}{\omega_0^2} \cdot p^2\cdot S(p)=K.E(p)\)

La fonction de transfert s'écrit donc :

\[H(p)=\frac{K}{1+\dfrac{2\cdot \xi}{\omega_{0}}\cdot p+\dfrac{p^2}{\omega_{0}^{2}}}\]

Cette forme de la fonction de transfert est appelée forme canonique (forme pour laquelle le monôme de degré zéro du polynôme du dénominateur vaut 1). Ses paramètres caractéristiques sont \(K\), \(\xi\) et \(\omega_0\).

Réponse indicielle à un échelon non unitaire

La réponse indicielle est la réponse à une entrée en échelon unitaire \(e(t)=e_0.u(t)\). D'où \(E(p)=e_0/p\) et :

\[S(p)=\frac{e_0}{p} \cdot \frac{K}{1+\dfrac{2\cdot \xi}{\omega_{0}}\cdot p+\dfrac{p^2}{\omega_{0}^{2}}} \\ S(p)=\frac{e_0}{p} \cdot \frac{K \cdot \omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}+2\cdot \xi\cdot\omega_{0} \cdot p+p^2}\]

Le but est de déterminer la sortie dans le domaine temporel. La sortie dans le domaine de Laplace (\(S(p)\)) permet, par identification inverse, de déterminer la sortie temporelle.

La transformée de Laplace inverse de la sortie se fait à l'aide du tableau des transformées usuelles. Il faut préalablement la décomposer en éléments simples pour faire apparaître les éléments du tableau. La décomposition en éléments simples passe en premier lieu par la recherche des racines du dénominateur de la fonction \(S(p)\).

On trouve la racine p\(=0\) ainsi que les racines du polynôme du second degré \(\omega_0^2+2\cdot \xi \cdot \omega_0 \cdot p+p^2=0\) appelé équation caractéristique. Les racines dépendent du signe du discriminant \(\Delta=4\omega_0^2.(\xi^2-1)\).

Il est donc nécessaire de distinguer trois cas, selon la valeur du coefficient d'amortissement \(\xi\) :

  • Si l'amortissement est important (\(\xi>1\)), alors \(\Delta>0\) et il y a deux racines réelles : \(p=-\xi.\omega_0±\omega_0 \sqrt{\xi^2-1}\). Ce cas correspond au régime apériodique.

  • Si l'amortissement est critique (\(\xi=1\)), alors \(\Delta=0\) et il y a une racine réelle double : \(p=-\xi\cdot \omega_0=-\omega_0\). Ce cas correspond au régime critique.

  • Si l'amortissement est faible (\(\xi<1\)), alors \(\Delta<0\) et il y a deux racines complexes : \(p=-\xi\cdot\omega_0±j\cdot\omega_0 \cdot \sqrt{1-\xi^2}\). Ce cas correspond au régime pseudo périodique.

Les réponses temporelles du système dans ces trois cas ont été étudiées dans le cycle 3.