Forme générale du torseur cinématique d'une liaison

On rappelle qu'un degré de liberté est l'un des 6 paramètres indépendants variables au cours du déplacement dans l'espace du solide \(S_k\) par rapport au solide \(S_i\), notés \(R_x\), \(R_y\), \(R_z\), \(T_x\), \(T_y\), \(T_z\).

Les degrés de liberté subsistants dans un contact entre deux solides \(S_i\) et \(S_k\) correspondent aux mouvements relatifs indépendants autorisés au sein de ce contact. Ainsi :

  • aux paramètres \(R_x\), \(R_y\), \(R_z\) sont associés les vitesses de rotation \(\omega_x , \omega_y, \omega_z\) de la base \(B_k\)liée au solide \(S_k\) par rapport à la base \(B_i\) liée au repère \(R_i\) ;

  • aux paramètres \(T_x\), \(T_y\), \(T_z\) sont associés les vitesses \(V_x\), \(V_y\), \(V_z\) de translation d'un point M appartenant au solide \(S_k\) par rapport au repère \(R_i\).

Ces coordonées sont :

  • les projections du vecteurs vitesse de rotation de \(B_k\) par rapport à \(B_i\) : \(\overrightarrow{\Omega}(k/i) :{\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.}}_{B_i} \left| \begin{array}{c} \omega_x \\\omega_y \\\omega_z \end{array} \right.\) ;

  • les projections du vecteur vitesse du point M appartenant à \(S_k\) par rapport à \(R_i\) : \(\overrightarrow{V}(M \in k/i) : {\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.}}_{B_i} \left| \begin{array}{c} V_x \\V_y \\V_z \end{array} \right.\).

On en déduit la forme générale du torseur cinématique du solide \(S_k\) par rapport au solide \(S_i\) au point \(M\) :

\[\left\{ \mathcal{V} \left( k / i \right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega} \left(k/i \right) \\ \overrightarrow{V} \left(M \in k/i \right) \end{array}\right\}_M =\left\{ \begin{array}{cc} \omega_x & V_x\\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & V_z \end{array}\right\}_{M,B_i} \]

Remarque

Il existe un autre formalisme pour ce torseur :

\(\left\{ \mathcal{V} \left( k / i \right)\right\} = \left\{ \begin{array}{cc}p& u\\q & v\\r & w\end{array}\right\}_{M,B_i}\)

Remarque

Il est important de préciser que les liaisons définissent des mouvements possibles entre deux solides, sans aucune indication quant à leur réalisation matérielle.