Changer de base

Soient deux bases \(B_1\) et \(B_2\) de \(\mathcal{E}\) mobiles l'une par rapport à l'autre et \(\vec{V}\) un vecteur de \(\mathcal{E}\).

Soient les composantes de \(\vec{V}\) dans \(B_1\) :

\[\overrightarrow{V}={\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.}}_{B_1} \left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.\]

Changer \(\overrightarrow{V}\)  de base consiste à déterminer les composantes de \(\overrightarrow{V}\) dans \(B_2\) :

\[\overrightarrow{V}={\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.}}_{B_2} \left| \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array} \right.\]

Le mouvement de \(B_2\) par rapport à \(B_1\) est caractérisé par trois rotations élémentaires. En SI, on décompose toujours les rotations en rotations élémentaires autour d'un vecteur de la base et on projette dans ces bases successives.

Exemple

Exemple : \(B_2\) en rotation d'angle \(\theta_{21}\) autour de \(\overrightarrow{z_1}\)  par rapport à \(B_1\). Cette définition est toujours traduite par une figure de projection telle que celles ci-dessous, où on commence par placer les repères comme sur la figure, puis l'axe de rotation, l'angle et enfin on complète les bases dans le sens direct.

ConseilRemarque importante :

Deux points essentiels sont à respecter lors de la réalisation des figures de projection, pour limiter les risques d'erreur :

  • Les angles doivent être représentés dans le sens positif (cf. , « Orientation d'un angle par rapport à un vecteur »),

  • Les angles doivent être représentés avec une valeur appartenant à l'intervalle \([0;\frac{\pi}{2}]\)

Représentation possible quelle que soit la configuration du mécanisme dans le problème traité.

En utilisant la représentation conseillée, on obtient rapidement :

\(\overrightarrow{x_2}=\cos \theta_{21} \cdot \overrightarrow{x_1}+\sin \theta_{21} \cdot \overrightarrow{y_1}\)

\(\overrightarrow{y_2}=-\sin \theta_{21} \cdot \overrightarrow{x_1}+\cos \theta_{21} \cdot \overrightarrow{y_1}\)

\(\overrightarrow{x_1}=\cos \theta_{21} \cdot \overrightarrow{x_2}-\sin \theta_{21} \cdot \overrightarrow{y_2}\)

\(\overrightarrow{y_1}=\sin \theta_{21} \cdot \overrightarrow{x_2}+\cos \theta_{21} \cdot \overrightarrow{y_2}\)

AttentionNe pas utiliser :

\(\theta_{21}<0\), il y a un risque d'inversion de signe sur son sinus.

\(\theta_{21}> \frac{\pi}{2}\), les projections orthogonales sont moins lisibles