Produit scalaire
Définition : Produit scalaire
Le produit scalaire est défini à partir de l'angle \(\theta=(\vec{u},\vec{v})\) par la relation :
Remarque :
Si \(\vec{u}//\vec{v}\) alors \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\epsilon\cdot\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\) avec :
\(\epsilon=1\) si les vecteurs sont de même sens,
\(\epsilon=-1\) si les vecteurs sont de sens opposés.
Si \(\vec{u}\perp\vec{v}\) alors \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
D'autre part, le produit scalaire est défini par la relation entre les composantes (si elles sont toutes exprimées dans la même base) :
Soit,\( \overrightarrow{u}={\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.}}_{B} \left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.\), \(\overrightarrow{v}={\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.}}_{B} \left| \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array} \right.\) alors \(\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2\).