Cas d'un mouvement de translation

Torseur cinématique dans le cas d'un mouvement de translation

Si un solide \(S_k\) est animé d'un mouvement de translation par rapport au repère \(R_i\), alors le torseur cinématique caractérisant le mouvement de \(S_k\) par rapport à \(R_i\) s'écrit sous la forme suivante :

\[\left\{ \mathcal{V} \left( k / i \right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega} \left(k/i \right)=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{V} \left(A \in k/i \right) \ne\overrightarrow{0} \end{array}\right\}_A\]

Ce torseur est un torseur couple. D'après la relation de changement de point :

\(\forall A \in S_k\),\(\forall B\in S_k\), nous avons : \(\overrightarrow{V}(B\in k/i)=\overrightarrow{V }(A\in k/i)+\overrightarrow{BA}\wedge\overrightarrow{\Omega}(k/i)\). Or \(\overrightarrow{\Omega}(k/i)=\overrightarrow{0}\).

Nous avons donc : \(\overrightarrow{V}(B\in k/i)=\overrightarrow{V }(A\in k/i)\).

  • Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un solide \(S_k\) soit animé d'un mouvement de translation par rapport à un repère \(R_i\) est donc que tous les points du solide \(S_k\) aient le même vecteur vitesse par rapport au repère \(R_i\) à l'instant t.

  • Réciproquement, à tout instant \(t\), le champ des vecteurs-vitesse des points d'un solide \(S_k\) en translation par rapport à un repère \( R_i\) est uniforme (tous les points ont le même vecteur vitesse). La connaissance d'un seul vecteur-vitesse suffit à caractériser les vecteurs-vitesse de tous les points du solide \(S_k\).

Complément

Les mêmes propriétés peuvent être mises en évidence concernant les vecteurs-accélération des points d'un solide \(S_k\) en translation par rapport à un repère \(R_i\).

Propriété : on déduit de ce qui vient d'être vu l'équivalence suivante :

\(\overrightarrow{V}(B\in k/i )=\overrightarrow{V}(A\in k/i) \Rightarrow \overrightarrow{\Gamma}(B \in k/i)=\overrightarrow{\Gamma}(A\in k/i)\) : \( S_k\) en translation par rapport à \(R_i\).