Définition du torseur cinématique d'un solide par rapport à un repère

Nous venons de montrer que le champ des vecteurs-vitesse pour tout point A appartenant au solide \(S_k\) par rapport à un repère \(R_i\) s'écrit :

\[\overrightarrow{V} \left( A \in S_k/R_i \right)=\overrightarrow{V} \left( O_k \in S_k/R_i \right)+\overrightarrow{AO_k}\wedge \overrightarrow{\Omega} \left(B_k/B_i\right)\]

Ce champ est antisymétrique, c'est donc le champ de moments d'un torseur appelé TORSEUR CINÉMATIQUE .

D'après la formule précédente, on identifie \(\overrightarrow{V}(A\in S_k/R_i )\) et \(\overrightarrow{\Omega}(B_k / B_i )\) comme étant les éléments de réduction de ce torseur.

Résultante du torseur cinématique :

Moment au point A du torseur cinématique :

\(\overrightarrow{\Omega}(B_k / B_i) \)

\(\overrightarrow{V}(A\in S_k/R_i )\)

Indépendant du point A choisi pour exprimer le torseur cinématique.

Dépendant du point A choisi pour exprimer le torseur cinématique

Vecteur vitesse de rotation de la base \(B_k\) par rapport à la base \(B_i\)

Vecteur vitesse du point A appartenant au solide \(S_k\) par rapport au repère \(R_i\)

Unité : \(rad.s^{-1}\)

Unité : \(m.s^{-1}\)

Le torseur cinématique caractéristique du mouvement du solide S\(_k\) par rapport au solide \(S_i\), s'écrit au point A : \[\left\{ \mathcal{V} \left( S_k / R_i \right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega} \left(B_k/B_i \right) \\ \overrightarrow{V} \left(A \in R_k/R_i \right) \end{array}\right\}_A\][1] et pour simplifier les notations, on notera \((S_k=R_k=k)\) et \((S_i=R_i=i)\) :

\[\left\{ \mathcal{V} \left( k / i \right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega} \left(k/i \right) \\ \overrightarrow{V} \left(A \in k/i \right) \end{array}\right\}_A\]

Le torseur cinématique est défini pour tout instant t.

Fondamental

Connaissant l'expression du moment au point A, il est possible d'en déduire son expression en tout point B (relation de changement de point) :

\[\left\{ \mathcal{V} \left( k / i \right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega} \left(k/i \right) \\ \overrightarrow{V} \left(B \in k/i \right)=\overrightarrow{V} \left(A \in k/i \right)+\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{\Omega} \left(k/i \right) \end{array}\right\}_B\]

Il n'est pas nécessaire que le point B soit physiquement un point du solide \(S_k\). Il faut et il suffit qu'il soit « considéré comme fixe » dans le repère \(R_k\) lié au solide \(S_k\).