Réponse indicielle (réponse à un échelon non unitaire)
On applique en entrée du système du premier ordre la fonction \(e(t)=e_0.u(t)\). Sa transformée de Laplace s'écrit \(E(p)=e_0/p\) et la sortie dans le domaine de Laplace vaut alors :
\(S(p)=\frac{e_0}{p} \frac{K}{1+\tau\cdot p}\)
La transformée de Laplace inverse de la sortie (pour revenir en temporel) se fait à l'aide du tableau des transformées usuelles. Il faut préalablement la décomposer en éléments simples pour faire apparaître les éléments du tableau :
\(S(p)=\frac{e_0}{p} \frac{K}{1+\tau\cdot p}=\frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{1+\tau p}\)
Les constantes \(\alpha\) et \(\beta\) sont déterminées par identification : \(\alpha=K.e_0\) et \(\beta=-K.e_0.\tau\). D'où :
\(S(p)=K.e_0\left(\frac{1}{p}-\frac{\tau}{1+\tau.p}\right)=K.e_0\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{\frac{1}{\tau}+p}\right)\).
La transformée inverse de Laplace en utilisant le tableau de l'annexe donne :
On retrouve bien l'expression de la réponse indicielle trouvée au cycle 3 ;
Méthode : Prévoir la réponse indicielle à partir de la F.T
Vérifier l'ordre de la F.T.
Mettre sous forme canonique la F.T : \(\frac{K}{1+\tau.p}\)
Identifier K et en déduire la valeur finale : \(s_\infty=K.e_0\)
Identifier la constante de temps \(\tau\) et en déduire le temps de réponse à \(5\%\) \(t_{r5\%}=3.\tau\)
Connaître l'allure de la courbe. (Pente non nulle à l'origine).
Lorsque la courbe expérimentale de la réponse d'un système à une entrée en échelon est similaire à la réponse d'un premier ordre, il est possible d'identifier les coefficients \(K\) et \(\tau\) à l'aide de la valeur à convergence \(s_\infty\) (pour \(K\)) et de la tangente à l'origine ou des temps à 63% et 95% de la réponse à convergence (pour \(\tau\)).
Méthode : Identifier la F.T à partir de la réponse temporelle
Reconnaître une réponse indicielle du 1er ordre. (Pente non nulle à l'origine).
Relever la valeur finale et calculer \(K=\frac{s_\infty}{e_0}\)
Relever le temps de réponse à \(5\%\) et en déduire \(\tau=\frac{t_ {r5\%}}{3}\) ou bien relever la valeur de \(\tau\) pour \(0,63\cdot s_\infty\)
En déduire \(H(p)=\frac{K}{1+\tau.p}\)
Remarque :
Utiliser la tangente à l'origine pour identifier le temps caractéristique est fortement déconseillé dans le cas d'une identification à partir d'une réponse expérimentale à cause des bruits de mesure.