Dérivation d'un vecteur par rapport au temps
La dérivation des vecteurs en fonction du temps nécessite de préciser par rapport à quelle base est réalisée la dérivation. Si \(\vec{u}(t)\) est un vecteur fonction du temps, sa dérivée par rapport à une base \(B_0\) s'écrit :
En exprimant les coordonées de \(\vec{u}(t)\) dans \(B_0\) (chacune étant une fonction du temps), on calcule la dérivée de \(\vec{u}(t)\) dans \(B_0\) en dérivant chacune des coordonnées par rapport au temps .
Si \(\vec{u}(t)=x_0 (t) \cdot \overrightarrow{x_0}+y_0 (t) \cdot \overrightarrow{y_0}+z_0 (t) \cdot \overrightarrow{z_0}\)
alors
\(\left.\frac{d\vec{u}(t)}{dt}\right|_{B_0}=\dot{x_0} (t) \cdot \overrightarrow{x_0}+\dot{y_0} (t) \cdot \overrightarrow{y_0}+\dot{z_0} (t) \cdot \overrightarrow{z_0}\).
Ce type de calcul nécessite cependant de projeter \(\vec{u}(t)\) dans \(B_0\) avant de dériver. Cette opération peut être lourde en calculs lorsqu'il y a plusieurs bases. Pour cette raison, on n'utilisera jamais en SI cette méthode pour dériver.
Méthode : Formule de Bour
Lorsqu'un système présente plusieurs bases mobiles les unes par rapport aux autres, il est souvent très intéressant d'utiliser la dérivée par rapport à une autre base (par exemple pour se déplacer dans une base où le vecteur est fixe). La relation est alors :
où \(\overrightarrow{\Omega}(B_1/B_0 )\) est le vecteur vitesse de rotation de \(B_1\) par rapport à \(B_0\) (vecteur parallèle à l'axe de rotation et ayant pour norme la vitesse de rotation en [rad/s]).
Complément : Propriétés de la dérivation des vecteurs :
Somme : \(\left[\frac{d\left(\overrightarrow{V_1}(t)+\overrightarrow{V_2}(t)\right)}{dt}\right]_{B}=\left[\frac{d\overrightarrow{V_1}(t)}{dt}\right]_{B}+\left[\frac{d\overrightarrow{V_2}(t)}{dt}\right]_{B}\).
Produit par une fonction scalaire : \(\left[\frac{d\left(f(t)\cdot\overrightarrow{V_1}(t)\right)}{dt}\right]_{B}=\frac{df(t)}{dt}\cdot \overrightarrow{V_1}(t)+\left[\frac{d\overrightarrow{V_1}(t)}{dt}\right]_{B}\cdot f(t)\).
Dérivée du produit scalaire : \(\left[\frac{d\left(\overrightarrow{V_1}(t)\cdot\overrightarrow{V_2}(t)\right)}{dt}\right]_{B}=\left[\frac{d\overrightarrow{V_1}(t)}{dt}\right]_{B}\cdot\overrightarrow{V_2}(t)+\overrightarrow{V_1}(t)\cdot\left[\frac{d\overrightarrow{V_2}(t)}{dt}\right]_{B}\).
Dérivée du produit vectoriel : \(\left[\frac{d\left(\overrightarrow{V_1}(t)\wedge\overrightarrow{V_2}(t)\right)}{dt}\right]_{B}=\left[\frac{d\overrightarrow{V_1}(t)}{dt}\right]_{B}\wedge\overrightarrow{V_2}(t)+\overrightarrow{V_1}(t)\wedge\left[\frac{d\overrightarrow{V_2}(t)}{dt}\right]_{B}\).