Produit vectoriel

Définition

Le produit vectoriel est défini à partir de l'angle \(\theta=(\vec{u},\vec{v})\) par la relation :

\[\vec{u}\wedge\vec{v}=\|\vec{u}\|\cdot \| \vec{v}\| \cdot \sin (\theta)\cdot \vec{n}\]

Où \(\vec{n}\) est un vecteur unitaire normal à \(\vec{u}\) ⃗et \(\vec{v}\)  et tel que la base \((\vec{u} ,\vec{v}, \vec{n} )\) soit directe

Remarque

Le produit vectoriel admet les propriétés suivantes :

\[\vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u} \\ \vec{u}\wedge( \alpha \cdot \vec{v}+ \beta \cdot \vec{w})=\alpha \cdot \vec{u}\wedge\vec{v}+\beta \cdot \vec{u}\wedge\vec{w}\]

D'autre part, le produit vectoriel est défini par la relation entre les coordonées (si elles sont toutes exprimées dans la même base) :

Soit \(\overrightarrow{u} :{\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.}}_{B} \left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.\) et \(\overrightarrow{v} :{\vphantom{\left| \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array} \right.}}_{B} \left| \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right.\) alors \(\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v} :{\vphantom{\left| \begin{array}{c} y_1\cdot z_2-y_2\cdot z_1 \\ z_1\cdot x_2-z_2\cdot x_1 \\ x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1 \end{array} \right.}}_{B} \left| \begin{array}{c} y_1\cdot z_2-y_2\cdot z_1 \\ z_1\cdot x_2-z_2\cdot x_1 \\ x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1 \end{array} \right.\)

Cette dernière relation sera très peu utilisée en SI car elle est particulièrement contraignante du fait de la nécessité d'exprimer les deux vecteurs dans la même base.

Dans une base orthonormée directe, l'utilisation des relations suivantes pourra être judicieuse pour gagner du temps :

\(\left\{ \begin{array}{c} \vec{x}\wedge\vec{y}=\vec{z} \hspace{.5cm} \vec{y}\wedge\vec{x}=-\vec{z}\\ \vec{y}\wedge\vec{z}=\vec{x} \hspace{.5cm} \vec{z}\wedge\vec{y}=-\vec{x}\\ \vec{z}\wedge\vec{x}=\vec{y} \hspace{.5cm} \vec{x}\wedge\vec{z}=-\vec{y}\end{array} \right.\)