Torseur associé à une action mécanique ponctuelle

A partir de l'écriture du moment de l'effort \(\vec{F}(1→2)\) au point A, on cherche à exprimer le moment exercé par le même solide 1 sur le même solide 2 au point B.

Selon la définition vue précédemment : \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(A,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)\)

D'où, \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{BM} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\right) \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)\)

\(\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{BA} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)+\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)\)

On retrouve l'expression du moment au point A : \(\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)\) et on obtient donc la relation suivante : \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{\mathcal{M}}(A,1 \rightarrow 2)+\overrightarrow{BA} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)\)

FondamentalTorseur statique associé à une action mécanique

Le moment exercé par le solide 1 sur le solide 2 est donc un champ antisymétrique et vérifie la formule de changement de point du moment d'un torseur. L'action mécanique de 1 sur 2 peut donc être représentée par un torseur, que l'on appellera « torseur statique associé à une action mécanique » et que l'on note :

\[\left\{ \mathcal{T} \left(1\rightarrow 2\right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{F} \left(1 \rightarrow 2 \right) \\ \overrightarrow{\mathcal{M}}(B,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{\mathcal{M}}(A,1 \rightarrow 2)+\overrightarrow{BA} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2) \end{array}\right\}_B\]

Remarque

La notation ci-dessus devra être respectée car dans le cadre d'un ensemble de solides, elle permet de définir précisément quelle est l'action mécanique (quel solide sur quel autre solide) décrite par le torseur. Ce torseur sera alors appelé « torseur statique de l'action mécanique du solide 1 sur le solide 2 ».

Résultante du torseur d'action mécanique :

Moment au point O du torseur d'action mécanique :

\(\vec{F}(1 \rightarrow 2)\)

\(\overrightarrow{\mathcal{M}}(O,1 \rightarrow 2)\)

Indépendant du point O choisi pour exprimer le torseur d'action mécanique

Dépendant du point O choisi pour exprimer le torseur d'action mécanique

Effort exercé par le solide \(S_i\) sur le solide \(S_k\)

Moment (ou couple) exercé par le solide \(S_i\) sur le solide \(S_k\) au point O

Unité : N

Unité : N.m

MéthodeCas particulier 1 : action mécanique représentée par une force en un point M

Lorsque le torseur statique d'une action mécanique est exprimé au point d'application M de la résultante, il prend la forme suivante :

\[\left\{ \mathcal{T} \left(1\rightarrow 2\right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{F} \left(1 \rightarrow 2 \right) \\ \vec{0} \end{array}\right\}_M\]

Cette écriture est de plus valable en tout point de la droite d'action de la force \(\overrightarrow{F}\)

Justification :

  • Calcul du moment au point M : \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(M,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{MM} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{0}\)

  • Calcul du moment en un point N situé sur la droite d'action de la force \(\vec{F}\) : \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(N,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{NM} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)\), avec \(\overrightarrow{NM}\) et \(\overrightarrow{F}(1→2)\) colinéaires, d'où \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(N,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{0}\).

MéthodeCas particulier 2 : action mécanique représentée par un couple

On utilisera la désignation de couple pour une action mécanique dont le torseur statique est de la forme :

\[\left\{ \mathcal{T} \left(1\rightarrow 2\right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{\mathcal{M}}(A,1 \rightarrow 2) \end{array}\right\}_A ,\forall A\]

Cette écriture est valable en tout point de l'espace

Justification :

  • Calcul du moment en un point P quelconque de l'espace : \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(P,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{\mathcal{M}}(A,1 \rightarrow 2)+\overrightarrow{PA} \wedge \vec{F}(1 \rightarrow 2)\), avec \(\overrightarrow{F}(1→2)=\vec{0}\) d'où \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(P,1 \rightarrow 2)=\overrightarrow{\mathcal{M}}(A,1 \rightarrow 2)\).