Déterminer les équations d'équilibre d'un système mécanique

Action mécanique de l'eau sur la quille : \(\left\{\mathcal{T}({eau} \rightarrow {quille})\right\}\)

Action mécanique du vent sur la voile : \(\left\{\mathcal{T}({vent} \rightarrow {voile})\right\}\)

Action mécanique de l'eau sur le safran : \(\left\{\mathcal{T}({eau} \rightarrow {safran})\right\}\)

\(\left\{\mathcal{T}({eau} \rightarrow {quille})\right\}+\left\{\mathcal{T}({vent} \rightarrow {voile})\right\}+\left\{\mathcal{T}({eau} \rightarrow {safran})\right\}=\left\{0\right\}\)

On en déduit deux relations vectorielles :

• Théorème de la Résultante Statique : \(X_{\text{e} \rightarrow \text{q}}.\overrightarrow{x_0}+Y_{\text{e} \rightarrow \text{q}}.\overrightarrow{y_0}+X_{\text{v} \rightarrow \text{v}}.\overrightarrow{x_0}+Y_{\text{v} \rightarrow \text{v}}.\overrightarrow{y_0}+X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.\overrightarrow{x_0}+Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.\overrightarrow{y_0}=\overrightarrow{0}\)

• Théorème du moment statique au point B : \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,{eau} \rightarrow {quille})+\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,{vent} \rightarrow {voile})+\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,{eau} \rightarrow {safran})=\overrightarrow{0}\)

  Avec :

  • \(\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,{eau} \rightarrow {quille})=\overrightarrow{0}\) 

  • \(\begin{align*} \overrightarrow{\mathcal{M}}(B,{vent} \rightarrow {voile}) &=\overrightarrow{\mathcal{M}}(C,{vent} \rightarrow {voile})+\overrightarrow{BC} \wedge \vec{F}({vent} \rightarrow {voile})\\&=\overrightarrow{0}+(-x_{CB}.\overrightarrow{x_0}-y_{CB}.\overrightarrow{y_0}) \wedge (X_{\text{v} \rightarrow \text{v}}.\overrightarrow{x_0}+Y_{\text{v} \rightarrow \text{v}}.\overrightarrow{y_0})\\&=(-x_{CB}.Y_{\text{v} \rightarrow \text{v}}+y_{CB}.X_{\text{v} \rightarrow \text{v}}).\overrightarrow{z_0}\end{align*}\)

  • \(\begin{align*}\overrightarrow{\mathcal{M}}(B,{eau} \rightarrow {safran})&=\overrightarrow{\mathcal{M}}(A,{eau} \rightarrow {safran})+\overrightarrow{BA} \wedge \vec{F}({eau} \rightarrow {safran})\\&=\overrightarrow{0}+(a.\overrightarrow{x_1}+b.\overrightarrow{x_0}) \wedge (X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.\overrightarrow{x_0}+Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.\overrightarrow{y_0})\\&=(-a.X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.sin\theta+a.Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.cos\theta+b.Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}).\overrightarrow{z_0}\end{align*}\)

• Soit : \((-x_{CB}.Y_{\text{v} \rightarrow \text{v}}+y_{CB}.X_{\text{v} \rightarrow \text{v}}-a.X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.sin\theta+a.Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.cos\theta+b.Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}).\overrightarrow{z_0}=\overrightarrow{0}\)

TRS sur \(\overrightarrow{x_0}\) : \(X_{\text{e} \rightarrow \text{q}}+X_{\text{v} \rightarrow \text{v}}+X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}=0\)

TRS sur \(\overrightarrow{y_0}\) : \(Y_{\text{e} \rightarrow \text{q}}+Y_{\text{v} \rightarrow \text{v}}+Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}=0\)

TMS en B sur \(\overrightarrow{z_0}\) : \(-x_{CB}.Y_{\text{v} \rightarrow \text{v}}+y_{CB}.X_{\text{v} \rightarrow \text{v}}-a.X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.sin\theta+a.Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}.cos\theta+b.Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}=0\)

\(X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}=-X_{\text{e} \rightarrow \text{q}}-X_{\text{v} \rightarrow \text{v}}=1660N\)

\(Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}=-Y_{\text{e} \rightarrow \text{q}}-Y_{\text{v} \rightarrow \text{v}}=-4180N\)

Soit : \(\Vert\overrightarrow{F}(\text{eau} \rightarrow \text{safran}\Vert=\sqrt{X_{\text{e} \rightarrow \text{s}}^2+Y_{\text{e} \rightarrow \text{s}}^2}=4497,5N\)

On réalise l'application numérique de l'équation scalaire issue du TMS au point B : \(810-298,8*sin\theta-752,4*cos\theta=0\), soit une équation de la forme \(A.cos\theta+B.sin\theta=C\), avec B=298,8 ; A=752,4 ; C=810.

Pour résoudre une équation de ce type, on pose un angle \(\varphi\) tel que \(cos\varphi=A_1\) et \(sin\varphi=B_1\), avec \(A_1=A/(A^2+B^2)\) et \(B_1=B/(A^2+B^2)\). La division par \((A^2+B^2)\) est réalisée pour que l'on soit sûr d'avoir la relation \(cos\varphi^2+sin\varphi^2=A_1^2+B_1^2=1\) (ce n'est pas vérifié si on pose \(cos\varphi=A\) et \(sin\varphi=B\)).

On peut déterminer la valeur de l'angle \(\varphi=acos(A/(A^2+B^2))=asin(B/(A^2+B^2))=21,65°\) :

L'équation à résoudre devient : \(cos\varphi.cos\theta+sin\varphi.sin\theta=C/(A^2+B^2)\), soit \(cos(\varphi-\theta)=C/(A^2+B^2)=1\), soit \(\varphi-\theta=0\) et donc \(\theta=\varphi=21,65°\)