Opérations mathématiques sur les torseurs

Somme de deux torseurs

Soient deux torseurs \(\{\mathcal{T}_1\}\) et \(\{\mathcal{T}_2\}\)  tels que : \(\left\{ \mathcal{T}_1 \right\}=\left\{ \begin{array}{c}\overrightarrow{R}_1 \\ \overrightarrow{M_{A,1}} \end{array}\right\}_A\) et \(\left\{ \mathcal{T}_2 \right\}=\left\{ \begin{array}{c}\overrightarrow{R}_2 \\ \overrightarrow{M_{A,2}} \end{array}\right\}_A\).

Soit \(\{\mathcal{T}_S\}\) la somme des deux torseurs. Alors la résultante \(\overrightarrow{R_S}\) est égale à la somme des résultantes \(\overrightarrow{R_1}\) et \(\overrightarrow{R_2}\) et le moment \(\overrightarrow{M_{A,S}}\) exprimé en A est égal à la somme des moments \(\overrightarrow{M_{A,1}}\) et \(\overrightarrow{M_{A,2}}\), exprimés en A.

\[ \left\{ \mathcal{T}_S \right\}= \left\{ \mathcal{T}_1 \right\}+ \left\{ \mathcal{T}_2 \right\}=\left\{ \begin{array}{c}\overrightarrow{R}_1 \\ \overrightarrow{M_{A,1}} \end{array}\right\}_A +\left\{ \begin{array}{c}\overrightarrow{R}_2 \\ \overrightarrow{M_{A,2}} \end{array}\right\}_A =\left\{ \begin{array}{c}\overrightarrow{R}_1+\overrightarrow{R}_2 \\ \overrightarrow{M_{A,1}}+\overrightarrow{M_{A,2}} \end{array}\right\}_A \]

Attention

Sommer deux torseurs dont les moments sont exprimés en des points différents n'a aucun sens !

Multiplication d'un torseur par un scalaire

Soit \(\{\mathcal{T}_1\}\) le même torseur que précédemment et \(\alpha\) un réel. Alors :

\[ \left\{ \mathcal{T}_2 \right\}= \alpha\cdot\left\{ \mathcal{T}_1 \right\}=\left\{ \begin{array}{c}\alpha\cdot\overrightarrow{R}_1 \\ \alpha\cdot\overrightarrow{M_{A,1}} \end{array}\right\}_A \]

Comoment de deux torseurs

On appelle comoment de deux torseurs \(\{\mathcal{T}_1\}\) et \(\{\mathcal{T}_2\}\)  la quantité scalaire telle que :

\[ \left\{ \mathcal{T}_1 \right\}\otimes\left\{ \mathcal{T}_2 \right\}=\overrightarrow{R}_1 \cdot \overrightarrow{M_{A,2}} + \overrightarrow{R}_2 \cdot \overrightarrow{M_{A,1}}\]

Remarque

Comme pour la somme, les moments des torseurs doivent impérativement être exprimés au même point. Mais le résultat ne dépend pas du point A choisi.