Vecteur vitesse d'un point dans un référentiel donné

Soit le point M et deux repères \(R_i\) et \(R_k\), définis selon la figure ci-dessous. Le point M n'est lié à aucun des deux repères, il est donc possible d'étudier son mouvement par rapport au repère \(R_i\) et/ou au repère \(R_k\).

Par définition, la vitesse d'un point M par rapport au référentiel \[R_k\left(O_k,\vec{x_k},\vec{y_k},\vec{z_k}\right)\] est égale à la dérivée du vecteur position \(\overrightarrow{O_k M(t)}\) en utilisant la base \({B_k}\) comme base de dérivation :

\[\overrightarrow{V}\left( M/R_k \right)=\left(\frac{d\overrightarrow{O_k M(t)}}{dt}\right)_{B_k}\]

De même, par définition, la vitesse d'un point M par rapport à un référentiel \[R_i\left(O_i,\vec{x_i},\vec{y_i},\vec{z_i}\right)\] est égale à la dérivée du vecteur position \(\overrightarrow{O_i M(t)}\) en utilisant la base \({B_i}\) comme base de dérivation :

\[\overrightarrow{V}\left( M/R_i \right)=\left(\frac{d\overrightarrow{O_i M(t)}}{dt}\right)_{B_i}\]

Remarque

  • Le vecteur vitesse du point M à l'instant t par rapport à un repère donné est tangent à la trajectoire au point M(t) dans ce même repère.

  • Lors du calcul du vecteur vitesse d'un point par rapport à un référentiel donné, le vecteur position qui sera dérivé doit avoir pour point origine un point fixe dans ce référentiel.

  • Lorsque l'on dérive un vecteur, il est indispensable de préciser la base de dérivation (cf. paragraphe « Quelques notions indispensables...»). Lors du calcul du vecteur vitesse d'un point par rapport à un référentiel donné, la base de dérivation est la base associée à ce référentiel.