Transformées de Laplace usuelles
Remarque :
La fonction \(u(t)\) est la fonction échelon ou fonction de Heaviside. Elle est définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[u(t)=
\left\lbrace
\begin{array}{c}
0 \ \text{si} \ t<0 \\
1 \ \text{si} \ t \geq 0 \\
\end{array}
\right.
\]
Cette fonction permet de s'assurer que l'on applique la transformation de Laplace sur des grandeurs physiques causales. Cette fonction est parfois également notée \(h\).
Transformées de Laplace à connaître parfaitement
Note :
\(e_0\) et \(a\) sont des constantes réelles
\(j\) est le nombre complexe tel que \(j^2=-1\)
Fondamental : Échelon
\[f(t)=e_0 \cdot u(t)\]
\(F(p)=\frac{e_0}{p}\)
Fondamental : Rampe
\[f(t)=e_0 \cdot t \cdot u(t)\]
\(F(p)=\frac{e_0}{p^2}\)
Fondamental : Exponentielle
\[f(t)=e_0 \cdot e^{-a\cdot t} \cdot u(t)\]
\(F(p)=\frac{e_0}{p+a}\)