Définitions et notations

Les fonctions introduites dans les modèles mathématiques des systèmes physiques sont des fonctions réelles de la variable réelle \(t\), le temps. On peut citer, par exemple, les accélérations, les vitesses ou les positions de solides dans l'espace, l'intensité électrique, les différences de potentiel, etc.

Si \(f\) est une de ces fonctions alors \(f\) est une fonction causale, c'est-à-dire définie pour tout \(t\) positif et nulle pour \(t <0\) :

\[f: \left| \begin{array}{rcl} \mathbb{R} & \longrightarrow &\mathbb{R} \\ t & \longmapsto & f(t) \ \text{si} \ t \geq 0 \\ & & 0 \ \text{si} \ t<0\\ \end{array} \right. \]

À cette fonction \(f\), on associe, sous réserve d'existence, une fonction complexe \(F\) d'une variable complexe \(p\) (\(p = \alpha + j\cdot\omega\)), définie de la façon suivante :

\[F: \left| \begin{array}{rcl} \mathbb{C} & \longrightarrow &\mathbb{C} \\ p & \longmapsto & F(p)=\int_0^{+\infty} f(t) \cdot e^{-p \cdot t} \cdot dt \\ \end{array} \right.\]

Cette fonction \(F\) est unique. On la nomme transformée de Laplace de la fonction \(f\), et on la note \(L[ f ]\). Usuellement (lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté) la transformée de Laplace d'une fonction est notée par la lettre majuscule correspondante : \(F(p)=L[f(t)]\), \(I(p)=L[i(t)]\), \(U(p)=L[u(t)]\), \(V(p)=L[v(t)]\), etc.

Remarque

L'existence de la transformée de Laplace de la fonction f dépend de la convergence de l'intégrale impropre. On peut démontrer que cette convergence est vérifiée si la partie réelle \(\alpha\) de la variable \(p\) est supérieure à une valeur \(a\) appelée abscisse de convergence. Dans les cas rencontrés en SII, les conditions d'existences seront toujours réunies.

Remarque

L'étude des fonctions complexes de variable complexe n'étant pas au programme de mathématiques en CPGE, nous nous contenterons d'énoncer les résultats nécessaires pour le cours de commande des systèmes linéaires asservis.

Remarque

Dans les pays anglo-saxons, la variable complexe de Laplace est notée \(s\). Cette notation pourra être rencontrée dans certains ouvrages.

Linéarite.

La transformation de Laplace est linéaire injective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\), c'est à dire que pour toutes fonctions \(f\) et \(g\) de \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(a\) :

\[L\left[f+g\right]=L\left[f\right]+L\left[g\right] \\ L\left[a\cdot f\right]=a\cdot L\left[f\right] \\ L\left[f\right]=L\left[g\right] \Rightarrow f=g\]

Transformée de Laplace inverse

La transformée de Laplace inverse, notée \(L^{-1} [F(p)]=f(t)\), possède la même propriété de linéarité.