Fonctions de transfert

La transformée de Laplace de la dérivée à l'ordre k d'une fonction permet de traduire n'importe quelle équation différentielle linéaire à coefficients réels constants en une équation polynomiale.

À condition que les conditions initiales soient nulles, la transformée de Laplace de la dérivée à l'ordre k de la fonction f(t) se calcule de la façon suivante :

\[L\left[\frac{d^kf}{dt^k}\right]=p^k \cdot F(p)\]

Nous avons vu que tout système linéaire est régit par une équation de la forme :

\[a_0\cdot e^{(0)}(t)+a_1\cdot e^{(1)} (t)+⋯+a_m\cdot e^{(m)}(t)=b_0\cdot s^{(0)}(t)+b_1\cdot s^{(1)} (t)+⋯+b_n\cdot s^{(n)}(t)\]

MéthodeMettre une équation différentielle sous la forme d'une fonction de transfert

Faire la transformée de Laplace de l'équation différentielle :

  • pour chaque dérivation dans le temps, il faut effectuer une multiplication par p dans l'espace de Laplace,

  • il faut remplacer chaque grandeur physique \(x(t)\) variable dans le temps par sa transformée de Laplace \(X(p)\).

Faire apparaître la F.T par factorisation.

L'application de la transformation de Laplace aux deux membres de cette équation différentielle donne :

\[a_0\cdot E(p)+a_1\cdot p \cdot E(p)+⋯+a_m\cdot p^m \cdot E(p)=b_0\cdot S(p)+b_1\cdot p \cdot S(p)+⋯+b_n\cdot p^n \cdot S(p) \\ \Leftrightarrow [a_0+a_1\cdot p +⋯+a_m\cdot p^m] \cdot E(p)=[b_0+b_1\cdot p +⋯+b_n\cdot p^n] \cdot S(p) \\ \]

Ce résultat est fondamental. Il montre que la fonction de sortie \(s(t)\), représentée par sa transformée de Laplace \(S(p)\), s'exprime en fonction de la fonction d'entrée \(e(t)\), représentée par sa transformée de Laplace \(E(p)\) et des coefficients \(a_i\) et \(b_j\) définissant le modèle du système :

\[H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{a_0+a_1\cdot p +\cdots+a_m\cdot p^m}{b_0+b_1\cdot p +\cdots+b_n\cdot p^n}\]

Pour un système linéaire asservi, la sortie \(S(p)\) s'exprime comme le produit de l'entrée \(E(p)\) par une fraction rationnelle en \(p\). Cette forme est beaucoup plus aisée à manipuler qu'une équation différentielle de variables réelles.

Fondamental

Cette fraction rationnelle, qui exprime le rapport de la sortie sur l'entrée dans l'espace de Laplace, est appelée fonction de transfert. Elle sera notée \(H(p)\) :

\[H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{a_0+a_1\cdot p +\cdots+a_m\cdot p^m}{b_0+b_1\cdot p +\cdots+b_n\cdot p^n}\]

Exemple

On reprend l'exemple du cycle 3. On rappelle l'équation différentielle modélisant l'évolution de la température intérieure du local en fonction de la température extérieure :

\(\mu_0.V.c.\frac{d\theta_{int}}{dt}=\frac{\theta_{ext}(t)-\theta_{int}(t)}{Rth}\)

Transformée de Laplace de l'équation :

\(\mu_0.V.c.p.T_{int}(p)=\frac{T_{ext}(p)-T_{int}(p)}{Rth}\)

Détermination de la fonction de transfert :

\(\mu_0.V.c.p.T_{int}(p)+\frac{T_{int}(p)}{Rth} =\frac{T_{ext}(p)}{Rth}\)

\(\left(\mu_0.V.c.p+\frac{1}{Rth}\right).T_{int}(p) =\frac{T_{ext}(p)}{Rth}\)

\(\left(\frac{\mu_0.V.c.Rth.p+1}{Rth}\right).T_{int}(p) =\frac{T_{ext}(p)}{Rth}\)

\(\boxed{\frac{T_{int}(p)}{T_{ext}(p)} =\frac{1}{\mu_0.V.c.Rth.p+1}}\)

Cette fonction de transfert est un modèle caractérisant, dans le domaine de Laplace, le comportement du système étudié.

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes, de degrés respectifs \(m\) et \(n\), notés \(N(p)\) et \(D(p)\) (numérateur et dénominateur de la fraction).

Le numérateur et le dénominateur peuvent être factorisés de la façon suivante :

\[N(p)=a_0+a_1.p+a_2.p^2+⋯+a_m.p^m=a_m (p-z_m )(p-z_(m-1) )…(p-z_1 )\]
\[D(p)=b_0+b_1.p+b_2.p^2+⋯+b_n.p^n = b_n (p-p_n )(p-p_(n-1) )…(p-p_1 )\]

DéfinitionZéros de H(p)

On appelle zéros de H(p) les valeurs \(z_i\) de \(p\) qui annulent le numérateur. (Ce sont les racines de \(N(p)\))

DéfinitionPôles de H(p)

On appelle pôles de H(p) les valeurs \(p_i\) de \(p\) qui annulent le dénominateur. (Ce sont les racines de \(D(p)\))

Ces valeurs sont caractéristiques de la fonction de transfert et permettront de prévoir certaines des performances d'un système asservi, comme par exemple sa stabilité.

ComplémentForme canonique d'une fonction de transfert :

il s'agit de la forme particulière de la fraction rationnelle H(p) telle que le monôme de degré zéro soit égal à 1.

\[H(p)=\frac{a_0+a_1.p+⋯+a_m.p^m}{b_0+b_1.p+⋯+b_n.p^n }=\frac{K}{p^\alpha}\cdot\frac{1+a_1'.p+⋯+a_m'.p^m}{1+b_1'.p+⋯+b_n'.p^{n'} }\]

  • \(K\) est appelé gain statique de la fonction de transfert lorsque \(\alpha=0\).

  • \(n=n'+\alpha\) est appelé ordre de la fonction de transfert.

  • \(\alpha\) est appelé classe de la fonction de transfert (correspond au nombre de pôles nuls).

Note : \(\alpha\) sera souvent nul dans les exercices de première année de CPGE.